新近一份公开的数学工作显示，长期未解的两个百年猜想被找到反例并因此失效。问题的中心是Carathéodory猜想：在三维欧几里得空间中，任何闭合、凸且足够光滑的曲面至少应有两个脐点（即局部呈球形、两条主曲率相等的点）。与之相关的Loewner猜想则断言：孤立脐点的指标（index）不会超过1。两者长期互为支撑，成为微分几何中的基本信念之一。
研究者Levent Alpöge与John‑Paul Smith在与大型人工智能系统（Claude）的合作下，给出了一个非常具体的构造。他们定义了一族支持函数 g_k，其中当 k=2 时的 g_2 对应一个凸体，其在原点产生了唯一的脐点，而且该脐点的指标为2。由于构造中包含衰减项，g_2 在数学上满足C∞的无限可微性要求：该凸体确实是“足够光滑”的闭凸体。结果表明，这个例子同时违背了Carathéodory猜想（存在仅有一个脐点的光滑闭凸面）和Loewner猜想（出现了指标为2的孤立脐点）。
在数学里，证伪一个猜想只需要一个反例；找到这样一个反例往往非常困难，而这次的工作提供了可验证的显式构造，直接推翻了两个存在已久的假设。更广泛地看，这一系列进展也反映出一个正在形成的趋势：人工智能不再只是复杂计算的辅助工具，而逐渐成为数学研究中的“直觉补充器”和构造伙伴，帮助人类在寻找反例或构造新对象时打开新的路径。
这不是该研究者第一次与AI合作产出令人瞩目的结果；近期还有其他结合AI的研究在不同领域推动了新的进展。此类人机协作范式可能会继续带来更多出人意料的数学发现。
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